APOSTILHAS


Os conjuntos numéricos surgiram de necessidades humanas básicas relacionadas quase sempre à medição e contagem. O conjunto dos números
números


Naturais (representado por IN), por exemplo, surgiu naturalmente da necessidade básica de contar do homem primitivo que ao deixar de ser nômade começou a acumular mais objetos, assim como o conjunto dos números Inteiros (representado por Z do alemão zahl que significa número) para expressar diferenças do tipo: a – b com a Î IN, b ÎIN e a < b, o dos números Racionais (representado por Q de quociente) para expressar a medida de segmentos que não podiam ser expressos apenas com números inteiros, isto é, expressar razões do tipo b a com a Î Z, b ÎZ* e mdc(a,b)=1, e o dosIrracionais (I) para expressar a medida de segmentos que não podiam ser representados por números racionais como, por exemplo, a medida da diagonal de um quadrado de lado unitário (d = 2 , ver demonstração no final do tópico). Assim da união de todos esses conjuntos o obtemos o conjunto dos números Reais (R = Q U I, com IN ÌZÌQ) . O conjunto dos números Complexos (C), por sua vez, surgiu da necessidade de operar com raízes de índices pares de números negativos como no problema a seguir que evidencia as limitações do conjunto dos números reais.
PROBLEMA 1


SOLUÇÃO 1: Indicando por x a medida dessa aresta temos: Seja V
porém, operando com

                             O CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS


Um engenheiro projetou duas caixas d’água de mesma altura: uma em forma de cubo e outra em forma de paralelepípedo, com 6m2 de área da base. O volume da caixa cúbica deve ter 4m3 a menos que o volume da outra caixa. Qual deve ser a medida, em metros, da aresta da caixa cúbica?1 o volume do cubo e V2 o volume do paralelepípedo e a . b = 6 sua área de base, então: V1 + 4m3 = V2, isto é, x3 + 4m3 = a.b.x Û x3 + 4m3 = 6.x Ûx3 - 6x + 4 = 0 Aplicando o método de Tartaglia/Cardano: x = para resolver equações do tipo: x3 + ax + b = 0 , temos: x Note, portanto, que a determinação do valor de x depende do cálculo de - 4 . O fato de - 4 não ser um número Real poderia nos levar a conclusão errada de que o problema é impossível,- 4 ÏR , obteremos uma raiz real da equação, x = 2. Concluindo então que o conjunto dos números Reais (R = Q U I, com IN ÌZÌQ), não é o único conjunto numérico e que existem números do tipo a + bi, com aÎR, bÎR* e i = -1 , chamados números imaginários, que coabitam com os números Reais o mundo concreto e o mundo abstrato.
Número complexo é todo número da forma a + bi, com a e b números Reais quaisquer e
i =
-1 . Indica-se o conjunto dos números complexos por:
C = {z | z = a + bi,
com a, b ÎR e i = -1 }
Definições
a) z = a + bi é chamada
b) Em z = a + bi,
c) Se b = 0 o Complexo é chamado
d) Se b
e) Se b
:forma algébrica do número Complexo z.a é chamada parte real e b parte imaginária.número Real.¹ 0 o Complexo é chamado número imaginário.¹ 0 e a = 0 o complexo é chamado número imaginário puro.
Proposição 1
R
De fato,
ÌC. (Imersão de R em C)"x ÎR Ûx = x + 0 = x + 0i ÎC. (Demonstração intuitiva)
Proposição 2
C
De fato,


MATEMÁTICA ELEMENTAR IV
AULA 2: 10/02/2011

A Unidade Imaginária
Chamamos de unidade imaginária e indicamos por i o número complexo z = 0 + 1i.
Potências de i
Calculando: i
i e 1 de acordo com o exposto acima.

0 = 1 i4 =1 i8 = 1 i12 = 1 i1 = i i5 = i i9 = i . i2 = -1 i6 = -1 i10 = -1 . i3 = -i i7 = -i i11 = -i . Concluímos que as potências de base i com expoente natural assumem sempre os valores: i, -1, -
Teorema
: in = ir, com n = 4.q + r e n Î Z; n > 4.
Demonstração:
O teorema afirma que i
in = i4.q + r = i4q . ir = (i4)q . ir = 1q . ir = 1 . ir = ir.n = ir, onde r é o resto da divisão de n por 4.
Aplicação:
Calcular i
Como 72 = 4.18 + 0 temos i
72.72 = i0 = 1
Igualdade
Teorema:
b = d.
Dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di são iguais se, e somente se, a = c e
Demonstração:
a + bi = c + di
a – c = di – bi
a – c = (d - b)i
Como a
portanto, d = b e conseqüentemente a = c.
Se z1 = z2 temos:ÎR e c Î R temos a – c ÎR. Assim (d – b)i ÎR o que só é possível se d – b = 0 e,

Operações
Operamos com os números complexos na forma algébrica da mesma maneira que fazemos com
expressões algébricas, lembrando apenas que i
Exemplos:
a) (2 + 4i) + (5 + 6i) = (2 + 5) + (4 + 6)i = 7 + 10i
b) (5 + 7i) - (2 + 3i) = (5 – 2) + (7 – 3)i = 3 + 4i
c) (5 – 2i) . (3 + 4i) = 15 + 20i - 6i - 8i
d) (23 + 14i):(3 + 4i) = 5 – 2i
2 = - 1.2 = 15 + 14i – 8.(-1) = 15 + 8 + 14i = 23 + 14i
Obs.:
letra d.
Usar definição de divisão e igualdade de números complexos para obter o resultado da

Conjugado

Chama-se conjugado de um número complexo z = a + bi ao número complexo z = a –
bi.
Propriedades
a) (z) = z
De fato, (z) = (a – bi) = a + bi = z
b) z = z
De fato, z = z
c) z + z = 2a
De fato, z + z = (a + bi) + (a – bi) = a + a + bi – bi = 2a
d) z – z = 2bi
De fato, z – z = (a + bi) – (a – bi) = a – a + bi + bi = 2bi
e) z.z = (a
De fato, z.z = (a + bi).(a-bi) = a
Ûz Î RÛ(a+bi = a-bi) Û b = -b Û b = 0 Û z Î R.Î RÎR.2 + b2) ÎR2 – (bi)2 = a2 – b2.(-1) = a2 + b2
f) z
1 + z2 = z1 + z2
De fato, como z
z
1 + z2 = a + bi + c + di = (a + c) + (b+d)i temos:1 + z2 = (a + c) – (b + d)i = a + c – bi – di = a – bi + c – di = z1 + z2
g) z
1 . z2 = z1 . z2
Fica com exercício a demonstração dessa propriedade.
Aplicação:
Escreva o resultado da divisão 23 + 14i : 3 + 4i na forma algébrica usando conjugado.
ii ii i i i
Álgebra Linear II
– Combinação Linear, Vetores LI e LD. Base de um Espaço Vetorial


TEMA 03

                                                        COMBINAÇÃO LINEAR


3.1 Definição de combinaçào linear

Sejam v
(2,–1,1) =

  Sendo e vetores do espaço vetorial M2x2(IR). Verifique se o vetor , pode ser  escrito como combinação linear dos vetores v1, v2 e v3.1,v2 e v3, temos que encontrar escalares reais a, b e c tais que v = av1 + bv2 + cv3.

Exemplo 2:

Solução:
Para verificar se o vetor pode ser escrito como combinação linear dos vetores v

  Seja o espaço vetorial das funções polinomiais de grau n, com ai IR i =1,2,...,n. Se f, g, h e p são funções de V definidas por f(x) = 1, g(x) = 2 – x, h(x) = x + x2 e p(x) = 2x2 + 3x – 6. Verifique se p pode ser escrito como combinação linear dos vetores f, g e h.xIR;

Exemplo 3:

Solução:

Para verificar que o vetor p pode ser escrito como combinação linear dos vetores f, g e h,
temos que encontrar escalares a, b e c reais tais que p = af + bg + ch. Como p e af + bg + ch possuem mesmo domínio e mesmo contra-domínio, verificar que p(x) = af(x) + bg(x) + ch(x)
 2 + 3x – 6 = a.1 + b(2 – x) + c(x + x2)2 + 3x – 6 = a + 2b – bx + cx + cx2–6 + 3x + 2x 2 = (a + 2b) + (–b + c)x + cx2
  1,v2,...,vn vetores do espaço vetorial V. Seja W o conjunto de todas os vetores de V tais que esses vetores se escrevem com combinaçào linear dos vetores v1,v2,...,vn. Vamos denotar tal conjunto por W = [v1,v2,...,vn] ou W = G(A) onde A = {v1,v2,...,vn} ou. Mostraremos que tal conjunto é um subespaço vetorial de V. Dizer que o 3 é gerado pelo conjunto A,seguinifica que todo vetor z = (x,y,z) de 3 se escrevem como combinação linear dos vetores u = (1,1,0), v = (0,–1,1) e w = (2,0,–1), isto é, existem escalares a,b,ctais que z = au + bv + cw.
3.2 Subespaço Vetorial Gerado



Fixado v

 a = x –2c(iv). Substituindo a equação (iv) em (ii) temos:x – 2c – b = y –b – 2c = y – xe3 como combinação Sendo V um espaço vetorial e A = {v1,v2,v3,v4,...,vn} um subconjunto   finito de ‘V. Diremos que V é um espaço vetorial finitamente gerado se, e somente se, V = G(A), isto é, o espaço vetorial V é gerado pelo subconjunto A .
Observação:

  Temos que o 3 é um espaço vetorial finitamente gerado, pois existe um subconjuntoA 3 tal que G(A) = 3.
Exemplo 10:
 3 tem-se que: (x,y,z) = x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1)}, logo tomando A = {(1,0,0),0,1,0),(0,0,1)} temos que G(A) = 3.
Solução:
De fato , para todo (x,y,z)
  Temos que o espaço vetorial M2x2( 3) é finitamente gerado, pois existe um subconjunto AM2x2( 3) tal que M2x2( 3) = G(A). De fato , para toda matriz AM2x2( 3) com tem-se: , logo tomando teremos que M2x2( 3) = G(A). 1. Sejam V = M2x3( )e.
Exemplo 11:

Determine G(A).
 3 um espaço vetorial. Verifique se o vetor (3,–4,1)[(1,–2,0),(0,1,1),(–1,3,0),(0,0,1)].
2. Seja V =
 3, sendo u = (1,–2,0), v = (0,–1,1).3 é um espaço vetorial finitamentegerado.3 definido por3.3 = G.
3. Verifique se o conjunto A = {u,v,w} gera o
4. Mostre que o
5. Seja W um subconjunto de
w = {(1,0,0),(0,0,–1),(1,0,1),(0,–2,0),(1,–1,2)}.
a) Verifique se um dos vetores, digamos
(1,–1,2)é a combinação linear dos demais
vetores.
b) Verifique se o subconjunto W gera o
c) Encontre um subconjunto A em W, tal que
(x,y,z) = a(1,1,0) + b(0,–1,1) + c(2,0,–1)
(x,y,z) = (a,a,0) + (0,–b,b) + (2c,0,–c)
(x,y,z) = (a + 2c, a – b, b – c)

Tomando a equação (i) temos que a + 2c = x
.
Substituindo o valor de c em (i), temos . Desta forma podemos escrever qualquer (x,y,z) de
linear dos vetores u = (1,1,0), v = (0,–1,1) e w = (2,0,–1).

2x
2x
1,v2,...,vn vetores do espaço vetorial V e λ1,λ2,...,λn escalares reais ou complexos. Qualquer vetor vV da forma é uma combinação linear dos vetores v1,v2,...,vn. Exemplo 1: Sendo v1 = (1,0,1), v2 = (1,1,0), v3 = (0,0,1) vetores do espaço vetorial IR3. Mostre que o vetor v = (2, –1, 1) de IR3, pode ser escrito como combinação linear dos vetores v1, v2 e v3.Solução: Para verificar se o vetor v = (2, –1,1) IR3 pode ser escrito como combinação linear dos vetores v1, v2 e v3, temos que encontrar escalares reais λ1, λ2, λ3 tais que .λ1(1,0,1) + λ2(1,1,0) + λ3(0,0,1) (2,–1,1) = (λ1 +λ2, λ2, λ1 + λ3).
ËR."z = a + bi (b ¹ 0) biÏR a + bi ÏR, " Î R



MATEMÁTICA ELEMENTAR IV


 
REGRAS DE FRAÇÕES

Para fazer essas transformações iremos utilizar exemplos:

Número inteiro em fração


Se pegarmos o número 5 para representá-lo em forma de fração basta achar um número que dividido por outro número o resultado seja 5. Por exemplo: 10 : 2 ou 20 : 4 ou 300 : 60, então dizemos que:

Números decimais em fração

Se pegarmos o número 0,2 (a
leitura dele é dois décimos), é preciso lembrar que décimo vem de dez, assim como centésimos vem de cem e milésimo vem de mil, então para transformar 0,2 em fração basta eliminar a vírgula ficando o número 2, assim o denominador será o número que representa a casa decimal, então:

1,25 (sua leitura é um inteiro e vinte e cinco centésimos), retirando a vírgula fica 125 no numerador, o denominador fica 100, pois as casas decimais estão em centésimos.

Se dividirmos o numerador de cada fração acima pelo denominador correspondente, chegaremos ao valor decimal correspondente a ele.

Dízima periódica em fração


Primeiro vamos falar o que é uma dízima periódica.
Dizima periódica é a parte decimal infinita (não tem fim), pois repete igualmente. Por exemplo: 0,22222.... ; 2,5656565656.... ; 0,2555... .

Esses números podem ser escritos em forma de fração, mas apesar de serem números decimais na sua transformação utilizaremos um processo diferente. Acompanhe o raciocínio:

Exemplo 1:
Vamos transformar 0,2222... em fração. Pra isso chamaremos a dízima de X:

X = 0,2222... (I)

Devemos eliminar as casas decimais. Para isso andaremos com a vírgula para a direita uma casa decimal, pois apenas o 2 que repete. Isso é o mesmo que multiplicar o 0,2222... por 10. Ficando assim:

10 . X = 2,2222... (II)

Temos duas equações (I) e (II). Iremos subtrair as duas:

             (II) – (I)

Como X = 0,2222.... , então 0, 2222.... é o mesmo que
Se dividirmos 2 : 9 chegaremos a 0, 2222.... .


Exemplo 2:
Temos a dízima 0, 636363...

X = 0,636363.... (I) andando com a vírgula duas casas para a direita, pois o número que
repete nas casas decimais é o 63.

100 . X = 63,636363.... (II) andar duas casas para a direita é o mesmo que multiplicar
por 100.

Subtraindo as duas equações (II) e (I) encontradas:


Como X = 0,636363... então 0,636363... é o mesmo que

Exemplo 2:
Temos a dízima 2,35555... nessa percebemos que na parte decimal temos apenas o 5.

X = 2,35555...

Como o 3 não faz parte da dízima devemos multiplicar a equação por 10 para que o número 3 passe pro outro lado deixando nas casas decimais apenas a dízima.

10 . X = 23,5555... (I)
Agora, multiplicamos a equação (I) por 10 novamente para que possamos cancelar a parte decimal.

10 . 10 . X = 235,5555...
100 X = 235,5555... (II)

Subtraindo as equações (II) e (I), teremos:


Como X = 2,35555... então 2,35555... é o mesmo que


Essas são as transformações mais importantes.




AULA 1: 04/02/2011
PROF. ELIAS LUIZ


AULA 2: 10/02/2011

A Unidade Imaginária
Chamamos de unidade imaginária e indicamos por i o número complexo z = 0 + 1i.
Potências de i
Calculando: i
i
i
i
Concluímos que as potências de base i com expoente natural assumem sempre os valores: i, -1, -
i e 1 de acordo com o exposto acima.
0 = 1 i4 =1 i8 = 1 i12 = 11 = i i5 = i i9 = i .2 = -1 i6 = -1 i10 = -1 .3 = -i i7 = -i i11 = -i .
Teorema
: in = ir, com n = 4.q + r e n Î Z; n > 4.
Demonstração:
O teorema afirma que i
in = i4.q + r = i4q . ir = (i4)q . ir = 1q . ir = 1 . ir = ir.n = ir, onde r é o resto da divisão de n por 4.
Aplicação:
Calcular i
Como 72 = 4.18 + 0 temos i
72.72 = i0 = 1

Igualdade

Teorema:
b = d.
Dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di são iguais se, e somente se, a = c eDemonstração:
Demonstração:
a + bi = c + di
a – c = di – bi
a – c = (d - b)i
Como a
portanto, d = b e conseqüentemente a = c.
SeSe z1 = z2 temos:ÎR e c Î R temos a – c ÎR. Assim (d – b)i ÎR o que só é possível se d – b = 0 e,
Operações
Operamos com os números complexos na forma algébrica da mesma maneira que fazemos com
expressões algébricas, lembrando apenas que i
2 = - 1.

 2 = 15 + 14i – 8.(-1) = 15 + 8 + 14i = 23 + 14i
Obs.:
letra d.
Usar definição de divisão e igualdade de números complexos para obter o resultado da
Conjugado
Chama-se conjugado de um número complexo z = a + bi ao número complexo z = a –
bi.
Propriedades
a) (z) = z
De fato, (z) = (a – bi) = a + bi = z
b) z = z
De fato, z = z
c) z + z = 2a
De fato, z + z = (a + bi) + (a – bi) = a + a + bi – bi = 2a
d) z – z = 2bi
De fato, z – z = (a + bi) – (a – bi) = a – a + bi + bi = 2bi
e) z.z = (a
De fato, z.z = (a + bi).(a-bi) = a
Ûz Î RÛ(a+bi = a-bi) Û b = -b Û b = 0 Û z Î R.Î RÎR.2 + b2) ÎR2 – (bi)2 = a2 – b2.(-1) = a2 + b2
f) z
1 + z2 = z1 + z2
De fato, como z
z
1 + z2 = a + bi + c + di = (a + c) + (b+d)i temos:1 + z2 = (a + c) – (b + d)i = a + c – bi – di = a – bi + c – di = z1 + z2
g) z
1 . z2 = z1 . z2 

a) (2 + 4i) + (5 + 6i) = (2 + 5) + (4 + 6)i = 7 + 10i
b) (5 + 7i) - (2 + 3i) = (5 – 2) + (7 – 3)i = 3 + 4i
c) (5 – 2i) . (3 + 4i) = 15 + 20i - 6i - 8i
d) (23 + 14i):(3 + 4i) = 5 – 2i



FÍSICA III




1 – INTRODUÇÃO
Um barco no mar, Por que não afunda? Por que não podemos mergulhar em
grandes profundidades? O que ocorre com nossos ouvidos ao subirmos ou
descermos a serra?
Como um carro é erguido num posto de gasolina? Essas e outras dúvidas
serão respondidas neste capítulo, chegou o momento de descrevermos o
comportamento dos fluídos, para isso falaremos de temas como densidade,
pressão, empuxo e outros temas que nos levarão a um aprofundamento na
Hidrostática.


2 – DENSIDADE E MASSA ESPECÍFICA

Um litro de óleo e um litro de água possuem o mesmo peso? A resposta
desta questão é a chave para o entendimento dos conceitos de densidade e
massa específica.
Μασσα Εσπεχφιχα
Massa específica de uma substância é a razão entre determinada massa
desta substância e o volume correspondente.
Temos então:
V
μ = m
UNIDADE NO SI:
m → massa ⇒ quilograma (kg)
V → volume ⇒ metro cúbico (m3)
μ → massa específica ⇒ quilograma por metro cúbico (kg / m3)
OBSERVAÇÃO:
�� No caso da água, cuja massa específica vale 1 g/cm3, observamos que
cada cm3 de água tem massa de 1 g. Assim é que, numericamente,
massa e volume serão iguais para a água, desde que medidos em
gramas e em centímetros cúbicos respectivamente.
�� Como 1 litro corresponde a 1000 cm3, no caso da água teríamos 1 kg / l.
2
Professor Ms. Lourival Gomes HIDROSTÁTICA
Densidade relativa ou simplesmente densidade de uma substância é a relação entre a massa específica desta substância e massa específica de uma outra substância adotada como padrão.
Temos então: BAB,Adμμ=
UNIDADE NO SI:
μA → massa específica da substancia A ⇒ (kg / m3)
μB → massa específica da substancia B ⇒ (kg / m3)
dA,B → densidade de A em relação a B ⇒ adimensional
É comum utilizar o conceito de densidade como massa específica, pois um segundo tipo de densidade seria a densidade absoluta.
OBSERVAÇÃO:
A diferença entre densidade e massa específica fica bem clara quando falamos de objetos ocos. Neste caso a densidade leva em consideração o volume completo e a massa específica apenas a parte que contêm substância.
EXERCÍCIOS
1> Massa de 1kg de água ocupa um volume de 1 litro a 40oC. Determine sua massa específica em g/cm3, kg/m3 e kg/l.
2> Determine a massa de um bloco de chumbo que tem arestas de 10 cm. Dado que a massa específica do chumbo é igual 11,2 g/cm3.
3> Uma esfera oca, de 1200 g de massa, possui raio externo de 10 cm e raio interno de 9 cm. Sabendo que o volume de uma esfera é dado por
V = 4/3 . π R3, determine:
(a) a densidade da esfera;
(b) a massa específica do material de que é feita a esfera.
Use π = 3.
(UFMT) 4> Complete a tabela abaixo, apresentando os cálculos que conduzem ao resultado. (Considere os dois planetas na forma esférica.)
3
Professor Ms. Lourival Gomes HIDROSTÁTICA
Terra
Marte
Massa
10 . M
M
Raio
2 . R
R
Densidade
?
D
3 – PRESSÃO
Pressão é a Força por unidade de área. Podemos representar matematicamente por:
FpA=
UNIDADE NO SI:
p → pressão ⇒ N / m2 => Pascal (Pa)
F → Força ⇒ Newton (N)
A → Área onde é exercida a Força ⇒ metro quadrado (m2)
Pressão Atmosférica
Pressão exercida pelo peso da camada de ar existente sobre a superfície da Terra. Ao nível do mar, à temperatura de 0 oC é igual a 1 atm.
É comum o uso de unidades de pressão não pertencentes ao SI: atmosfera (atm) e milímetros de mercúrio (mmHg).
1 atm = 760 mmHg = 1,01 x 105 Pa
No estudo da hidrostática, que faremos a seguir, vamos considerar o líquido ideal, isto é, incompressível e sem viscosidade.
EXERCÍCIOS
(UFRJ) 5> O impacto da partícula de lixo que atinge a nave espacial Columbia produz uma pressão da ordem de 100 N/cm2. Nessas condições e tendo a partícula 2 cm2, a nave sofre uma força de:
(a) 100 N; (b) 200 N; (c) 400 N; (d) 800 N; (e) 1600N.
6> Um cubo maciço de alumínio (massa específica = 2,1 g/cm3), de 50 cm de aresta, está apoiado sobre uma superfície horizontal. Qual é a pressão, em Pa e em atm, exercida pelo cubo sobre a superfície?
4
Professor Ms. Lourival Gomes HIDROSTÁTICA
7> Existe uma unidade inglesa de pressão - libra-força por polegada quadrada - que se abrevia Lb/pol2, a qual é indevidamente chamada de libra. Assim, quando se calibram os pneus de um automóvel, muitas pessoas dizem que colocaram 26 "libras"de ar nos pneus. Agora responda: por que num pneu de automóvel se coloca mais ou menos 25 Lb/pol2 enquanto no de uma bicicleta de corrida (cujos pneus são bem finos) se coloca aproximadamente 70 Lb/pol2?
(Curiosidade: 1 Lb/pol2 = 0,07 atm)
8> A caixa da figura abaixo tem peso 400 N e dimensões a=10cm, b = 20 cm e c = 5 cm e apóia-se em uma superfície plana horizontal. Qual a pressão, em N/cm2 , que a caixa exerce no apoio, através se sua base, em cada uma das situações propostas ?
I)
II)
III)
πρεσσαο εξερχιδα πελο λθυιδο:
Suponhamos um recipiente cilíndrico de área de base A, contendo um líquido de massa específica μ. Qual a pressão que o líquido exerce no fundo do recipiente ?
Da definição de massa específica, temos:
mVμ= e V => .A= h
.mAhμ=
Portanto: ..mAμ= h
Por outro lado, a força que o líquido exerce sobre a Área A é o seu peso:
.FPmg==, mas mA ..μ= h
g
...FAhμ=
Pela definição de pressão, temos: FpA=, substituindo as considerações anteriores, temos:

Professor Ms. Lourival Gomes HIDROSTÁTICA
..pgμ= h
A pressão que o líquido exerce no fundo do recipiente depende da massa específica do líquido, da aceleração da gravidade local e da altura do líquido acima do ponto considerado.


A importância do ensino de Matemática para a educação financeira: um estudo no Ensino Médio
Alex Ferranti Pelicioli1
Maurivan Güntzel Ramos



Resumo


O artigo aborda a educação financeira como uma das possíveis funções do ensino de Matemática no nível Médio. A investigação buscou respostas para a seguinte pergunta: De que modo o ensino de Matemática pode contribuir para a Educação Financeira no Ensino Médio? A partir de revisão teórica em publicações nacionais e estrangeiras, foram realizadas entrevistas semiestruturadas com três consultores financeiros e com seis alunos do ensino médio, de escolas públicas e privadas, cujas transcrições foram analisadas por meio da Análise Textual Discursiva. A análise dos dados mostrou a ausência de uma consciência financeira e desconhecimento de conceitos elementares da área financeira. Aponta para possibilidades de uma educação financeira a ser empreendida na escola, em especial no ensino de Matemática, Colocando em discussão aspectos relacionados à economia, não objetivando somente a carreira profissional, mas, principalmente, à gestão individual e familiar dos recursos financeiros dos indivíduos.
Palavras-chave: Ensino de Matemática, Ensino médio, Educação Financeira. Cidadania.
Introdução
A educação financeira tem importância na vida das pessoas, tanto do ponto de vista profissional quanto pessoal. O ensino de Matemática na Educação Básica pode contribuir para a educação financeira. Nesse sentido, a investigação relatada neste artigo buscou respostas para a seguinte pergunta: De que modo o ensino de Matemática pode contribuir para a Educação Financeira dos alunos no Ensino Médio? Para dar sustentação teórica à investigação, foi realizada revisão bibliográfica em publicações nacionais e estrangeiras, seguida de coleta de dados empíricos por meio de entrevista com seis alunos do Ensino Médio e com três consultores financeiros.
Os alunos são oriundos de escolas da rede pública (localizadas em um bairro de classe média-baixa) e privada (localizadas em bairros de classe média-alta) do Estado do Rio Grande do Sul. Têm idades que variam de 15 a 18 anos e distribuem-se nas três séries do Ensino Médio do seguinte modo: três alunos do 3º ano do Ensino Médio, dois do segundo ano e um do primeiro ano. Dois sujeitos alunos trabalham. A forma de escolha das séries foi aleatória. Os alunos entrevistados foram igualmente distribuídos em relação ao sexo, tal escolha também se efetivou de forma aleatória, sendo três deles do sexo feminino e três do sexo masculino. Para a análise os alunos são identificados como A1, A2, A3, A4, A5 e A6.
1 Mestre em Educação em Ciências e Matemática (PUCRS). E-mail: metodoaa@terra.com.br
2 Doutor em Educação (PUCRS). E-mail: mgramos@pucrs.br
Os consultores atuam no setor de aplicação financeira, em empresas privadas. Foram designados por CF1, CF2, CF3, tendo, respectivamente, 29, 28 e 24 anos. Os dois primeiros têm Ensino Superior completo e o terceiro, não concluiu o Ensino Superior.
Para o tratamento das informações, foi realizada a Análise Textual Discursiva (MORAES e GALIAZZI, 2007, p. 47) “a partir de dois movimentos opostos e ao mesmo tempo complementares: o primeiro de desconstrução, de análise propriamente dita; o segundo reconstrutivo, um movimento de síntese”. Em razão da semiestruturação, houve posicionamentos diversificados e merecedores de análise para que o pesquisador pudesse fundamentar sua investigação.
Discussão dos dados
Da análise dos depoimentos realizados, emergiram as seguintes categorias: importância da Matemática para a Educação Financeira; Conhecimentos econômicos necessários no cotidiano; Investimentos e Planejamento Futuro e Papel da Escola na Educação Financeira.
Importância da Matemática para a Educação Financeira
A disciplina de Matemática apresenta-se com importância para a vida futura e relaciona-se com aspectos essenciais de investimentos econômicos tanto para profissionais entrevistados quanto para os estudantes. Assim, há, para os profissionais desta pesquisa, relação nítida entre a Matemática e o dinheiro, bem como com os modos de investimento, conforme se vê nos depoimentos a seguir:
Está intimamente ligada, não é uma matemática difícil, mas a gente precisa saber calcular a rentabilidade, juro composto, taxa, despesa de operação, impostos, com certeza a matemática está aí [...]3. (CF2).
Matemática básica sempre é essencial e inclusive matemática financeira tem que haver algumas bases. (CF3).
Tal relação é essencial para que se calcule os rendimentos obtidos em determinado investimento, como salienta CF1: “Tem sim, porque para a gente calcular o rendimento precisa da matemática, especialmente em números”.
Em relação à matemática e seu papel social, Skovmose (2008, p. 12), evidencia a sua noção de Matemática em ação, qual seja a de que “muitas coisas podem ser realizadas quando a matemática está em jogo”. Além disso, essas ações, para o autor, constituem as
3 Quando as citações são dos sujeitos, além dos destaques de acordo com as normas ABNT, são apresentadas em itálico para diferenciar-se de citações dos autores.
inovações tecnológicas e os procedimentos econômicos, que fazem parte do dia-a-dia, dentre outros elementos. A referida Matemática em ação estaria fazendo parte de, como menciona ele, “nossos mundo-vida, podendo servir aos propósitos mais variados”.
Da mesma maneira, os alunos entrevistados percebem essa relação. Inclusive um dos estudantes que trabalha (A1) tem ciência da relevância da Matemática no contexto real, no cotidiano. Há preocupação, principalmente, com o que lhe é descontado a título de legislação trabalhista de forma compulsória. O interesse mostra-se presente para que a Matemática possa trazer benefícios futuros, bem como a ideia do que se pode despender, ou seja, gastar: “Tem que saber, pela Matemática, o que vai precisar economizar, para poder gastar.” (A4).
Apesar da importância que percebem, a Matemática que é ensinada na escola parece não ter aplicabilidade na vida dos estudantes. A constatação é feita mesmo sem que eles tenham terminado de cursar o Ensino Médio. Para os estudantes, ela se torna um mero instrumento para que a aprovação seja obtida nas escolas.
Também para um dos consultores financeiros, essa constatação é clara, como se observa:
Realmente, eu não tinha pensado sob esta prisma, é claro a educação no Ensino Médio contribuiu para tu poder controlar e circular, ... mas aplicado, em termos de educação financeira, ou exercícios, como economia não tem nada diretamente. (CF2)
Frise-se que, para Skovsmose (2008, p.57), a questão relacionada à formação em Matemática é assim definida:
Há grupos que devem ter uma boa formação em Matemática; há os que precisam saber usar certas técnicas matemáticas; há os que devem ser capazes de ler diagramas; e os que devem conhecer a matemática embutida em procedimentos; para a maioria, por fim, basta conhecer a matemática que lhe possibilita fazer compras e lidar com pagamentos e transações bancárias.
Então, proporcionar ao aluno conhecimentos de Matemática, como o autor afirma, torna aquele apto a realizar atividades de forma mais consciente e sensata, principalmente em atividades rotineiras como realizar pagamentos. Aliás, sob esse aspecto Paulo Freire, na entrevista que deu para o Oitavo Congresso Internacional de Educação Matemática, citado por D’Ambrósio (1999) diz:
Eu dizia outro dia aos alunos que quando a gente desperta, já caminhando para o banheiro, a gente já começa a fazer cálculos matemáticos. Quando a gente olha o relógio, por exemplo, a gente já estabelece a quantidade de minutos que a gente tem para, se acordou mais cedo, se acordou mais tarde, para saber exatamente a hora que vai chegar à cozinha, que vai tomar o café da manhã, a hora que vai
chegar o carro que vai nos levar ao seminário, para chegar às oito. Quer dizer, ao despertar, os primeiros movimentos,lá dentro do quarto, são movimentos matematicizados. Para mim essa deveria ser uma das preocupações, a de mostrar a naturalidade do exercício matemático.
Compreende-se, desse modo, a presença constante da Matemática na vida do ser humano, ao mesmo tempo em que esta passa de forma quase imperceptível no dia a dia de todos.
Aliás, a seguinte passagem encontra-se nos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 2006, p. 40):
A Matemática no Ensino Médio tem um valor formativo, que ajuda a estruturar o pensamento e o raciocínio dedutivo, porém também desempenha um papel instrumental, pois é uma ferramenta que serve para a vida cotidiana e para muitas tarefas específicas em quase todas as atividades humanas.
Destaca-se a afirmação de Lemes Júnior (2002, p. 17), para quem “a Matemática e a Estatística têm importante relação com as Finanças, visto que estabelecem as medidas quantitativas, explicativas e predicativas do objeto das finanças: a criação de valor”. A vinculação da Matemática com as finanças faz-se presente de forma inequívoca, em vista da necessidade da realização de cálculos em atividades como as transações de compra e venda, de tomada de empréstimos, além das formas de investimentos no intuito de atingir objetivos financeiros presentes tanto na vida familiar como profissional.
Contudo, como se pode ver a seguir, meros conceitos relacionados à economia, interligando a área de matemática à vida prática parecem não serem abordados na escola, mesmo com a importância que possuem. A essencialidade da Matemática reside tanto nas atividades diárias simplistas – como em quaisquer pagamentos – quanto em alguns cálculos os quais exigem um conhecimento um pouco mais técnico, como no caso de cálculos de rendimentos financeiros. Constata-se, dessa forma, a percepção do valor da Matemática pelos entrevistados é nítida, uma vez que esta é exigida reiteradamente e assim permanecerá ao longo de todo o processo profissional.
Conhecimentos econômicos necessários no cotidiano
Em relação aos conhecimentos da área econômica necessários no cotidiano, os profissionais que atuam no mercado de corretagem da bolsa de valores percebem que aqueles que querem investir nesse mercado têm pouco ou nada de informações sólidas sobre tal investimento. Chegam a citar que não há uma educação voltada à economia que tenha sido oferecida na escola. Além disso, há evidente constatação sobre a recente
estabilidade econômica no Brasil, uma vez que há poucas décadas, as políticas econômicas coexistiam com inflação elevada.
Falta de cultura, da parte mais primária e do contexto do país, que sempre tinha inflação alta, juros altos, em geral, não há uma cultura de... pensam sempre no hoje, ontem... (CF1)
Efetivamente, quando a estabilidade econômica não se faz presente em uma sociedade têm-se baixos salários, defasados pela elevada inflação, o que não estimula o indivíduo a economizar e a projetar-se economicamente para o futuro.
Quando questionados sobre a possibilidade de pessoas, que receberam imensos valores econômicos de uma só vez em virtude de uma loteria, por exemplo, não administrarem bem tais valores e gastarem tudo, as respostas foram semelhantes, como as que seguem:
Justamente pelo fato de as pessoas não terem essa instrução, então saem gastando tudo sem pensar lá na frente. (A6).
Porque a pessoa nunca economizou, então vai comprar coisas inúteis. Porque as pessoas não foram acostumadas com o dinheiro. (A2).
Certamente não têm muito experiência, acabam gastando tudo (A4).
Houve, assim, concordância com o fato de não haver instrução anterior para administrar os recursos adquiridos, além de não saberem como ou onde investir. A administração dos recursos parece estar distante da preocupação das pessoas, que não tiveram possibilidades de obter informações sobre gestão ou economia ao longo de sua vida. As bases educacionais relacionadas ao conhecimento acerca do dinheiro, planejamento econômico ou administração dos recursos financeiros foram adquiridas, de forma primitiva e elementar com seus familiares. Quanto à escola, pelo que se pôde perceber, não tem realizado tal propósito, inclusive demonstra-se isso nos resultados obtidos a partir das entrevistas realizadas. Vejamos algumas considerações: questões acerca dos conhecimentos sobre alguns conceitos elementares da área de Matemática e Economia foram apresentados aos entrevistados, tais como juros simples, juros compostos, longo, médio e curto prazo, desconto, importância de pagamentos à vista ou parcelado, bolsa de valores, poupança. As respostas demonstram conhecimentos reduzidos, muitas vezes imprecisos e, algumas vezes, equivocados, representando lacunas na aprendizagem de estudantes de Ensino Médio, os quais estão saindo de um ciclo para adentrar no ensino profissionalizante, dentro do qual estabelecerá bases para suas futuras profissões. Inclusive no caso de caracterizar um “longo prazo”, têm-se respostas como “2 anos” (A2 e A5) bem
como “10 anos”(A4). Há um caso em que o sujeito sequer havia noção do que é, conceitualmente dizendo, caderneta de poupança. Neste caso, o entrevistador teve que esclarecer tal conceito. O restante limitou-se a dizer que seria importante para o futuro, tão somente.
Há conceitos dados que demonstram certa preocupação com o futuro. Os profissionais também acreditam que economizar remete ao aspecto de segurança para o futuro, pois, quando questionados sobre a importância de as pessoas pouparem, assim se manifestaram:
Para terem um recurso no futuro. (CF1)
É a importância de ter um futuro mais confortável, mais feliz materialmente falando, a gente sabe que o dinheiro não é tudo, mas ele é bem importante, sem ele, um valor mínimo a gente não tem tranquilidade, paz, então precisa também dele, saber gerir as economias, não importa como. (CF2)
As respostas dadas pelos alunos ao questionamento sobre quem lhes ensinara algo a respeito de pensar acerca do uso do dinheiro refletem a participação da família na coordenação dessa atividade. Embora isso ocorra de forma não regular ou responsável, como se pode notar nas respostas elencadas abaixo:
[...] na verdade foi mais uma coisa de minha vivência mesmo que vendo as coisas como estavam dentro de casa e o que eu podia fazer para fazer a partir do que eu tinha. Meus pais tenham me auxiliado em alguns momentos. Nada tão decisivo quanto a minha própria iniciativa, então eu sempre procurei saber o que estava acontecendo financeiramente dentro de casa e como eu podia fazer para ajudar na situação. (A1)
Eu aprendi um pouco sozinho e um pouco em casa. (A2)
Aprendi em casa. E que nem eu – eu morava só com minha mãe – aí eu tinha o meu dinheiro. E não podia gastar mais do que tinha, não podia exceder. E quando excedia sabia que não daria para minha economia. (A5)
Aprendi um pouco na escola, e um pouco em casa. A principal parte foi em casa. (A6)
Apenas um estudante entrevistado – saliente-se que oriundo da escola privada – afirmou que seus pais se preocupam demasiadamente em poupar. Entretanto, não respondeu se eles, de fato, lhe ensinaram algo sobre isso: “Meus dois pais são muito preocupados com poupar dinheiro.” (A4)
No caso da pergunta que se referia à aplicação em Bolsa de Valores, obtiveram-se respostas como:
Bolsa de valores eu vou ter ações, e está no papel. (A2).
Algo que tu investe e, dependendo do resultado da bolsa, tu pode ter algum retorno algum dia. (A5).
Nota-se a incipiente noção do que os alunos do Ensino Médio têm sobre uma forma de investimento.
Investimentos e Planejamento Futuro
A ausência de planejamento futuro é uma tônica para os estudantes secundaristas. A maioria ganha mesada (quatro dos seis entrevistados) e apenas dois trabalham e tem seus recursos próprios – ambos da rede pública de ensino. Mesmo assim, afirmam que gastam naquilo de que precisam e guardam um pouco, porém esses valores acumulados não são aplicados em lugar algum. Parece, dessa forma, que não se preocupam com o futuro, apenas com o mês a mês, sabedores que são da assídua mesada dada pelos pais.
No caso da escolha profissional, alguns dos entrevistados afirmam que querem, efetivamente, tornarem-se profissionais de áreas que lhes sejam agradáveis, não só pelo retorno financeiro. Assim, têm-se os seguintes enunciados:
Basicamente, garantir um futuro, mas sempre fazendo alguma coisa que se goste, não trabalhar só por obrigação. (A6)
Vejo-me numa profissão que eu goste, porque eu não sei se me agradaria estar numa profissão só pelo salário no final do mês, porque isso iria acabar afetando na produtividade... Eu ia acabar me atrapalhando. (A2)
Em relação a uma previsão econômica futura, como no caso de guardar determinado valor por um período de tempo, houve demonstrações de ausência de informações sobre o montante que seria formado caso ocorresse esse fato: “Nunca questionei isso, mas acho que daria um bom dinheiro” (A1); “Não tenho nem noção” (A5). É possível observar que nenhum dos entrevistados demonstrou interesse – durante a realização das entrevistas – em saber exatamente quanto seria o valor total arrecadado caso houvesse a reserva de um real por dia devidamente corrigido por um prazo longo.
Entretanto, houve consonância com as respostas advindas da seguinte pergunta: “O que significa, com relação ao dinheiro, nunca se deve pôr todos os ovos numa mesma cesta?”. A percepção de que o investimento deve ser realizado de diversas formas e não somente de uma, foi compreendida, conforme segue:
Não se deve fazer um investimento, investir todo teu dinheiro, sei lá, uma parte significativa dele, numa única coisa, porque pode não dar certo. Por exemplo, tu vai investir nas ações, de uma empresa. Tu ganhou na loteria, daí tu ganhou 1
milhão, tu investe 900 mil naquilo ali e quando vê, quebra tudo. Aí é um baita de um dinheiro que tu perdeu. É bom investir em várias áreas. (A1).
Isso, o ideal é não investir tudo numa mesma coisa, porque se uma coisa não der certo... (A2).
Acho que não deve apostar num investimento só. (A4).
A estabilidade financeira de cada indivíduo apresenta-se como responsabilidade de cada um e não do governo. Desse modo, este pode manter a economia com inflação reduzida, mas se não houver uma administração pessoal, o sucesso financeiro não tem vez. Um entrevistado, inclusive assim se pronuncia: “Os dois, o governo pode oferecer estabilidade, mas eu não conseguir fazer bom uso do meu dinheiro [...].”(A2).
Os profissionais da área de corretagem de valores, entrevistados nesta investigação, afirmam que aqueles que procuram tais investimentos são pessoas que almejam lucrar de forma rápida e fácil. Isso representa, de certo modo, um desconhecimento sobre finanças, bem como a ausência de um planejamento prévio. Em decorrência disso, ao surgir determinado valor monetário a ser investido, as pessoas querem investir em algo que lhes traga uma rentabilidade mais elevada, de forma a querer recuperar o tempo perdido. Parece haver a nítida intenção de ter rendimentos fáceis, quando não ocorre exatamente isso, por exemplo, nas aplicações em Bolsa de Valores. Tal quadro poderia ser revertido na medida em que houvesse esclarecimentos econômicos ao longo de um processo educacional para preparar os indivíduos que irão encarar a fase adulta de suas vidas de forma despreparada nas questões relacionadas ao aspecto monetário. Assim, uma das respostas dadas à pergunta “O que mais atrai as pessoas para fazer um investimento na Bolsa de Valores?” foi: “Dinheiro rápido e fácil, o que às vezes não é realidade e é uma coisa que acaba frustrando as pessoas, inclusive.” (CF3).
Logicamente, não se quer dizer que a rentabilidade elevada não possa ser alcançada na Bolsa de Valores. O que se quer salientar é a falta de conhecimentos prévios que determinam certas ações, as quais poderiam ser decididas de forma mais racional e tempestivamente. As ações pretéritas têm caráter essencial nas decisões econômicas futuras.
Uma demonstração de que o investimento pode ser realizado em qualquer área são as respostas dadas pelos profissionais sobre o que pensam sobre o investimento tão somente em caderneta de poupança. Um deles afirmou que é importantíssimo, pois representa uma preocupação inicial com “poupar”, o que seria uma espécie de primeiro
passo dado no sentido de investir os recursos financeiros para garantir rentabilidade. Além disso, salientam que, muitas vezes, tal investimento é realizado porque há desconhecimento das pessoas em aplicar de outras formas e a poupança seria “um veículo que pode se transformar em outros interessantes”. (CF2) Tem-se também a resposta:
Buscam uma segurança que pode ser temporária, porque a caderneta de poupança... Se tiver depositado numa instituição que venha a sofrer um... , mas acredito que é mais falta de conhecimento porque muitas vezes ela remunera, mas o dinheiro perde valor com o tempo também. (CF1).
Simas (2009) afirma que “estudantes do segundo ano do Ensino Médio do Colégio Bom Jesus aprendem ideias básicas de planejamento econômico, mercado financeiro e investimento em ações”. O referido projeto desenvolve-se em Curitiba e, além apresentar aspectos de economia doméstica, há uma espécie de preparação para entender o funcionamento financeiro de uma empresa, além da aprendizagem sobre investimentos. O trabalho é desenvolvido em um módulo específico, que funciona paralelamente à disciplina de Matemática. Esse é um exemplo de como a escola pode desenvolver a Educação Financeira.
Assim, a Educação Financeira assume um caráter essencial na vida das pessoas, uma vez que proporciona planejamento para que o futuro seja previsível, sem que pequenos percalços atrapalhem completamente a vida econômica familiar de cada um. Assim, o conhecimento de assuntos e conceitos do mundo financeiro é uma conveniência que ultrapassa o ensino básico apresentado nas escolas para atingir a realidade. Contudo, parece não haver uma rasa percepção sequer por parte dos alunos entrevistados sobre planejamento econômico futuro, como no caso de não saberem o montante que seria reunido se pudessem guardar um real por dia ao longo de vários anos. Saliente-se que os estudantes desta pesquisa sabem a importância da diversidade de investimentos, pois responderam nesse sentido. No caso da profissão por eles escolhida, percebeu-se com clareza a intenção de serem profissionais qualificados, deixando em segundo plano a questão econômica nesta escolha.
Papel da Escola na Educação Financeira
A escola deveria, segundo os alunos entrevistados, participar da educação relacionada às finanças. Houve argumentos no sentido de que, a partir do momento em que se começa a trabalhar, deve-se ter noções sobre aquilo que é descontado na folha de pagamento, como os percentuais devidos do Instituto Nacional de Seguridade Social (INSS).
Ainda deve-se salientar a aparente ausência de ensinamentos relacionados à economia nas escolas. Algumas das manifestações são apresentadas a seguir:
Acho que isso deveria ser algo assim, não obrigatório, mas em algum momento na matemática, sei lá, como se fosse uma das matérias também, principalmente no primeiro ano, porque a gente vai começar a fazer um curso profissionalizante e ganhar algum dinheiro, ou fazer um estágio e ganhar algum dinheiro. É importante porque tu pega ali o teu primeiro dinheiro e vai gastar e se aquilo ali virar um hábito tu vai acabar trabalhando, trabalhando e aquilo ali não terá nada de mais concreto, de mais positivo pra ti [... ]. (A1)
Os profissionais, por sua vez, também percebem a importância que a escola deve dar e aplicar na sala de aula. Constataram que não tiveram praticamente conhecimentos na passagem pelos bancos escolares. Acreditam, dessa forma, que é necessário o desenvolvimento de informações relacionadas a investimentos, tanto dentro da Matemática quanto em outras disciplinas, como Sociologia. Sugerem inclusive algumas atividades - como workshops – para serem exploradas pela escola, bem como princípios de Educação Financeira que tenham abordagem de como saber economizar.
Determinado entrevistado assim se manifestou: Assim como a escola ajuda a formar o caráter, ela deveria ajudar a formar o pensamento do jovem nessas questões, dar importância para a educação financeira. (A1)
Por serem profissionais que atuam na área de corretagem de valores, ou seja, dentro de um setor de investimentos, os profissionais entrevistados apresentaram interessantes sugestões do que acreditam ser possível desenvolver-se nas escolas, com atividades como o jogo “Banco imobiliário”, considerando-o um excelente meio para a realização de atividades voltadas a Educação Financeira. Um dos consultores abordou aspectos desenvolvidos nas aulas de Filosofia e Sociologia, mostrando que esta tem um caráter amplo sobre a sociedade e pode ser um referencial a ser utilizado oportunamente para noções de economia.
Sabe-se que os Parâmetros Curriculares Nacionais preveem a interdisciplinaridade nas escolas. Entretanto, a realização de um mecanismo como este, na prática, é um dos questionamentos urgentes que precisam ser resolvidos pela escola, professores e agentes pedagógicos em geral, juntamente com o compromisso do Estado.
O currículo de Matemática deve procurar criar condições para que “o aluno transcenda um modo de vida restrito a um determinado espaço social e se torne ativo na transformação de seu ambiente”, conforme preconizam os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática. (BRASIL, 2000, p. 30).
Em relação ao que deveria ser ensinado sobre finanças na escola, ainda salienta o entrevistado CF2 que princípios básicos, tais como: saber gastar menos do que se recebe; saber o que fazer com o que sobra; e saber calcular o custo verdadeiro de um financiamento. Assim, observa ele, que quando se adquire um produto, dever-se-ia saber quanto, posteriormente, tal produto irá fazer com que os gastos se elevem. Como exemplo, citou a compra de um veículo, pois após a compra, agregam-se os gastos com seguro, combustível, manutenção e estacionamento.
No que tange ao ensino nas escolas, os profissionais entrevistados apresentam ainda alternativas como ensinar “finanças pessoais e alternativa de investimentos” (CF1). Apresentou-se também o propósito de se criar a cultura de poupador numa sociedade, iniciando na escola.
Em relação ao modo de como a escola pode oportunizar ao aluno aprendizagem financeira, houve concordância com o fato de que o investimento em educação é fator primordial para garantir o futuro, especialmente no caso de esta educação relacionar-se com a cultura financeira: “Com certeza colocar no currículo básico das escolas no Ensino Fundamental e médio ou uma cadeira que tratasse disso. Não precisa muita coisa, mas tinha que estar no currículo.” (CF2).
Em síntese, as entrevistas realizadas mostram aspectos importantes elucidados a partir desse trabalho. Um deles foi o confronto dos dados empíricos com a fundamentação teórica desenvolvida aqui. Assim, a Educação Financeira não faz parte, ainda, da realidade educacional, como visto no corpo deste trabalho. As entrevistas dos consultores financeiros foram esclarecedoras do ponto de vista profissional, sendo que eles demonstraram não terem obtido aprendizagem relacionada à economia em salas de aula do Ensino Médio. Observam também, tais profissionais, que a Matemática pode abordar aspectos econômicos em sala de aula, aprimorando os conhecimentos que coadunam com a sua posterior atividade econômica. Nesse sentido, é válida a afirmação de que a educação escolar precisa apresentar aspectos relacionados à economia não objetivando somente a carreira profissional, mas também a gestão individual ou familiar dos recursos financeiros dos indivíduos.
Considerações Finais
O direito à educação financeira deve ser creditado ao estudante tão logo este esteja na escola, pois quanto mais cedo ele adquirir essa consciência, mais cedo saberá administrar suas finanças. Skovsmose (2008) salienta, ao abordar a questão relacionada à
oportunidade de os alunos se familiarizarem com a tecnologia nas escolas que esse é um direito a que qualquer estudante deve ter. A tecnologia da informação e comunicação, segundo ele, enquadra-se no que ele denomina de “técnica cultural”. Para o autor (ibid, p. 48), o acesso a tais tecnologias pertence “à mesma categoria do direito de aprender a ler e a escrever”. Da mesma forma, o aluno tem o direito de dominar conceitos financeiros em sala de aula. Essa possibilidade deve lhe ser oferecida de diversas maneiras.
A organização econômica é um dos passos para que as despesas não sejam sempre maiores do que as receitas em um ambiente familiar. O equilíbrio financeiro deve ser uma busca constante nos lares brasileiros. Somente com o conhecimento de uma gestão familiar podem-se definir objetivos futuros e estabelecerem-se prioridades na forma de consumo. Basicamente o que os jovens sabem sobre finanças pessoais são conhecimentos adquiridos a partir do momento que começam, efetivamente, a receber um determinado salário, considerando-se um tanto tardio tal momento.
Quanto mais cedo houver contato com questões relacionadas ao dinheiro, mais cedo os jovens podem adquirir uma consciência monetária. As finanças pessoais podem ser administradas na medida em que há uma preparação advinda do ambiente escolar, que se reflete no ambiente familiar. Assim como uma empresa necessita, para permanecer em crescimento, de constantes balanços e demonstrações financeiras, o indivíduo e sua família devem ter um planejamento financeiro. Afinal, ninguém está disposto a permanecer grande parte de sua vida trabalhando tão somente para pagar os débitos decorrentes do consumo não planejado.
Referências
BRASIL, Secretaria da Educação. Parâmetros curriculares nacionais. Brasília: MEC/SEF, 2000.
D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Literacy, Matheracy, and Technoracy: A Trivium for Today. Mathematical Thinking and Learning, 1(2), 1999, p. 131-153.
______. Do saber matemático ao fazer pedagógico: o desafio da educação. 2º Encontro de Educação Matemática do Rio de Janeiro- Conferência de abertura, Macaé, RJ, 21/10/99. Disponível em<http://vello.sites.uol.com.br/macae.htm>: Acesso em 30 jan. 2011..
LEMES JÚNIOR, Antônio Barbora; CHEROBIM, Paula; RIGO, Cláudio Miessa. Administração financeira: princípios, fundamentos e práticas brasileiras. Rio de Janeiro: Campus, 2002.
MORAES, Roque; Galiazzi, Maria do Carmo. Análise Textual Discursiva. Ijuí: Editora Unijuí, 2007.
SIMAS, Anna. Educação Financeira na Ponta do Lápis. Disponível em: http://www.gazetadopovo.com.br/ensino/conteudo.phtml?id=898640 . Acesso em 09 abr. 2011.

SKOVSMOSE, Ole. Desafios da Reflexão. SP: Campinas. Papirus, 2008.